Дифференциаль тигезләмәләр, идеаль сызык һәм нокталар һәм Лаплас парадоксын чишү турында
XVIII – XIX гасырлар Кояш системасы планеталарының хәрәкәтен гаҗәп нәтиҗәле аңлаткан Ньютон механикасының уңышы белән тарихка кереп кала. Моннан тыш ул, әлбәттә, башка, Җир системасына якынрак өлкәләрдә дә уңышка ирешүгә китерде һәм җылылык табигатен вә термодинамика күренешләрен аңлатканда да бик файдалы булды. Ягъни газлар термодинамикасы атомнар хәрәкәте буларак бары тик механик күзлектән тасвирланган. Максвел да үзенең электродинамика тигезләмәләрен язганда хәтта электромагнитик кырларны механик яктан, шестерналар ярдәмендә аңлатмакчы булган. Чынлыкта исә, моның механик электромагнитик кырлары табигатенә бернинди дә бәйләнеше юк, шуңа күрә фән алгарышын бу ялгыш фикерләрдән арынгач кына дәвам итте.
Шушы хәлләр барышында «бер җирдә дә ихтыяр юк», – диюче Лаплас парадоксы барлыкка килде. Ягъни кеше үз теләге белән бер ни дә эшли алмый, барысы да алдан билгеләнгән һәм һәрнәрсәне алдан әйтергә була.
Механик һәм кырга якынаю юлына ышансак, һәрбер табигый күренешне функцияләр һәм аларның дифференциаль тигезләмәләре аша тасвирларга була. Функция һәм дифференциаль тигезләмәләрнең асылын хәзер карап китәрбез. Мәсәлән, иң гади функция булып кисәкчәнең торышы тора. Ул өч функциядән, ягъни өч юнәлештәге координатадан гыйбарәт. Хәзерге t вакытында кисәкчәнең торышы бертөрле булса, башка вакыт берәмлегедә ул икенче һәм шулай алга таба да дәвам итә.
Димәк функция – кисәкчә торышының вакытка бәйлелеге. Бу функция барчабызга да билгеле булган Ньютонның икенче законы дип исемләнгән дифференциаль тигезләмә ярдәмендә тасвирлана. Тигезләмә дифференциаль дип үз эченә функциядән ике чыгарылманы алганлыктан атала. Ул масса һәм тизләнешнең тапкырчыгышыннан гыйбарәт, бу үз чиратында кисәкчәгә тәэсир итүче көчкә тигез. Менә сезгә дифференциаль тигезләмә. Әгәр кисәкчәнең башлангыч торышы һәм башлангыч тизлеге бирелсә, тигезләмәнең чишелеше тәгаен билгелән. Термодинамикада да һәрнәрсә тәгаен тасвирлана. Ләкин бу юлы кисәкчекләр саны гаять күп. Газда никадәр кисәкчә булуы турында күзаллауны Авогадро саны бирә. Берникадәр күләм газда бик күп кисәкчекләр бар. Алар хәрәкәт итәләр, бер-берсе белән бәрелешәләр, стеналарга бәреләләр, һәм бу термодинамик күренешләргә китерә. Әгәр сезнең берьюлы бик күп мәгълүмат белән эш итә алучы шактый көчле санагыгыз булса, барлык кисәкчекләрнең дә башлангыч халәтләре, тизлекләре билгеле булганда аларның киләчәктә ничек үзгәрәсен, газларның үз-үзләрен тотышын шулай ук төгәл исәпләргә, җентекләп өйрәнергә, алдан фаразларга мөмкин икән.
Бу фикерне дәвам итәргә була. Без дә бит шулай ук үзара ниндидер көчләр белән тәэсир итешүче, бер-берсенә бәрелүче молекулалар, атомнардан торабыз. Һәм безне тәшкил иткән барлык молекулаларның, атомнарның башлангыч торышларын-тизлекләрен белсәк, безнең үз-үзебезне ничек тотасын алдан әйтергә мөмкин булыр иде, чөнки тәүге механик модельгә ышансак, безнең зиһенебез, хәрәкәтләребез һәм башкасы баш миендә, тәнебездә һ.б. урыннарда узучы химик реакцияләр барышы белән билгеләнә. Димәк, бернинди дә ихтыярилык юк. Безнең һәрбер хәрәкәтебез тирә-юньнең шартларына корылган. Димәк, һәрнәрсәнең шулай алдан билгеләнүен Лаплас парадоксы дип атыйлар.
Лаплас пардоксы квант механикасы ярдәмендә хәл ителә дип исәпләнелә, чөнки биредә ихтималлылык интерпретациясе барлыкка кирә. Әмма ихтималлылык интерпретациясе системаны өзгәндә барлыкка килә. Ягъни сез кечкенә квант системасына зур классик система белән тәэсир итсәгез, бу үлчәм дип атала, квант-механик системасының халәтенен үлчәү башкарыла һәм шулчак ихтималлылык интерпретациясе барлыкка килә. Система йомык булган очракта ул тулысынча дулкын функциясе белән тасвирлана. Ихтималлылык интерпетациясенә бәйле рәвештә аны ихтималлылык дулкыны дип тә атыйлар, ләкин бу мөһим түгел.
Ничек аталуга карамастан, йомык квант-механик система Шредингер тигезләмәсе дип исемләнгән дифференциаль тигезләмәгә буйсынучы дулкын функциясе белән тасвирлана. Иң мөһиме шул: әгәр сез бу дифференциаль тигезләмә өчен башлангыч шартларны, ягъни дулкын функциясенең башлангыч кыйммәтләрен, аның чыгарылмаларын белсәгез, моннан соң дулкын функциясен һәрбер вакыт аралыгында бер шиксез торгыза алачаксыз. Ә квант-механик система, йомык булса, бу дулкын функциясе белән бертөрле тасвирлана. Һәм бернинди ихтималлылык интерпретациясе дә кирәк түгел, чөнки сез системаны өзмисез.
Тагын бар да алдан билгеле дип әйтергә була. Моның белән бәхәсләшергә мөмкин, ләкин, нинди генә теория белән эш итсәк тә – чагыштырмалылык теориясе, гомум чагыштырмалылык теориясе, гравитация тигезләмәсе, Максвелл тигезләмәләре, көчле һәм зәгыйфь тәэсир итешүләрне тасвирлаучы тигезләмәләр – бөтен көчләр дә икенче дәрәҗә дифференциаль тигезләмәләр белән тасвирлана. Тәүге тигезләмәләрдә координаталар функциясе булучы кырлар бар, ягъни ниндидер кыр кыйммәтенең пространствода торышына һәм вакытка бәйлелеге. Аның пространствода һәм вакытта үзгәрешләрен тасвирлау шулай ук дифференциаль тигезләмә ярдәмендә башкарыла. Ягъни янәдән барысы да алдан билгеләнә кебек.
Парадокслар каян барлыкка килә соң? Бер секундка гына онытылыйк та, гомуми аңлатма биреп карыйк. Парадоксларның күп өлеше нинди дә булса табигый канунны барлык тормыш мәсьәләләренә дә кулланырга тырышканда барлыкка килә. Мисал өчен, барчабызга да мәгълүм парадокс: кайсы иртәрәк булган – тавыкмы, йомыркамы? Галәмнең барлык тарихы дәвамында йомырка салучы тавыклар булган, йомыркалардан яңа тавыклар чыккан дип фикер йөртүче фәлсәфи бәхәс. Аңлашыла ки, һәрвакыт алай булмаган. Эволюция нәтиҗәсендә арадаш халәтләр күзәтелгән, йомыркага охшаш әйберләр барлыкка килгән, алар вакыт үтү белән йомыркага күбрәк охшый барган, бу йомыркалардан кошлар-җәнлекләр чыккан, шулай ук вакыт үтү белән без күреп белгән тавыкларга күбрәк охшый барганнар. Тавык белән йомырка парадоксы шул рәвешле чишелә.
Лаплас парадоксына әйләнеп кайтсак, табигый фәннәр белән шогыльләнүче галимнәр, һәрдаим берникадәр якынчалаудан файдалана. Теләсә кайсы табигый фән кануны, ни кадәр фундаменталь булуга карамастан, билгеле якынаюлар өчен генә дөрес. Ньютонның икенче законы шактый зур (бөртекләр вә алардан зурырак) яктылык тизлегеннән кечерәк тизлек белән хәрәкәт итүче, тизләнеш зурлыклары җисемнәргә Җирдә һәм Кояш системасында, Кояш кебек үзәкләр булдыручы гравитацион кырларда хас кыйммәтләр булган җисемнәр белән эш иткәндә дөрес. Әгәр без шактый тиз хәрәкәт итүче җисемнәрне тикшерә башласак, махсус чагыштырмалылык теориясенә мөрәҗәгать итәргә кирәк. Бик көчле гравитацион кырларны тикшергәндә гомуми чагыштырмалылык теориясен куллану зарур. Вак җисемнәрне өйрәнгәндә исә квант механикасы файдаланыла. Бик кечкенә җисемнәрнең бик зур тизлекләр белән хәрәкәт итүен өйрәнгәндә кырның квант теориясе белән эш ителә. Киләсе адымда, әгәр дә кырның квант теориясен бик көчле гравитацион кырларда өйрәнәсе килсә, квант гравитацисе кебек теориядән файдаланырга туры килүе ихтимал, ләкин ул әле булдырылу чорында, калган теорияләр – әзер.
Бу якынчалык каян килеп чыга соң? Математика кешене ураган хаоста ниндидер тәртип табарга мөмкинлек бирә, – дип пафос белән әйтергә яраталар. Ягъни без һәрвакыт математик формулалар ярдәмендә математик идеальләштерелгән күренешләрне тасвирлыйбыз, димәк чынбарлыкта үтүче табигый күренешләр якынча тасвирлана. Без хәтта якынчалауны билгеләп, төгәллекне яхшырта, шул рәвешле реаль шартларга якыная алабыз. Мисал өчен, идеаль чиксез юка туры сызыклар, объект размерларына ия булмаган идеаль нокталар, инерциаль исәп системалары табигатьтә булмый.
Чынлыкта ни була соң? Бирелгән мәйданны яклары чиксез юка турылардан торган турыпочмаклык йә күппочмак дип исәпләп, без күпме уңыш җыеласын исәпли алабыз. Бу безгә тәүге яссы фигураның мәйданын билгеләргә һәм җыеласы уңышны исәпләргә мөмкинлек бирә, гәрчә, өслек яссы гына булмаса да, ягъни биредә калкулыклар да, чокырлар да булырга мөмкин. Эш безнең нинди якынаюда һәм исәпләвебездән генә тора.
Шулай ук, идеаль юка сызыкларны, нокталарны һәм башкасын кулланып без йортларны исәпли алабыз. Йорт төзелешен исәпләгәндә төгәллек өчен берничә миллиметр да тәрәзәләрдә ярыклар калдырмаска мөмкинлек бирә. Икенче яктан, тизләткечнең өч-биш катлы йөртлар кадәр детекторын нинди төгәллек белән исәпләргә кирәк булыр икән? Биредә детальләр бер-берсенә микронга кадәр төгәллек белән туры китерелә. Анда төгәллек зуррак кирәк, чөнки кисәкчәләрнең трекларын вә реакция очын шундый төгәллек белән билгеләү зарур. Мәсьәлә нәрсәне нинди төгәллек белән тасвирларга теләвебездә генә. Без һәрвакыт нәрсәнедер ниндидер төгәллектә тасвирлау кирәклеге белән генә чикләнгән якынчалаулардан файдланабыз.
Шуңа күрә табигать кануннарын тасвирлаучы дифференциаль тигезләмәләрдә чынбарлыктагы күренешләргә якынаю гына булып тора. Без тагы да кечерәк үлчәмнәргә күчсәк пространство һәм вакытның юка төзелешен, ниндидер төерчекләрдән торган, тәртибе дифференциаль тигезләмәләр белән тасвирланучы структураны күрәчәкбез дип беркем дә ышандыра алмый. Әйе, бу тигезләмәләрдә янәдән бөтен нәрсәнең алдан билгеләнүе кебек бәхәс китереп чыгара. Ә бәлки бу ахыр-аермалы тигезләмәләр булмас та? Эш шунда ки, Лаплас парадоксын аңлату өчен иң беренче чиратта табигатьнең билгеле бер күренешен тасвирлаган канунны барлык очраклар өчен дә яраклаштыру ярамый.
Эмиль Әхмәдов, физика-математика фәннәре докторы, А.И. Алиханов исемендәге Нәзарый һәм тәҗрибә физикасы институтының әйдәп баручы фәнни хезмәткәре, МФТИ нәзарый физика кафедрасы профессоры
Постнаука сәхифәсеннән Галимҗан Галимов тәрҗемә итте
