Инглиз профессоры, фәнне популярлаштыручы галим Иэн Стюарт үзенең «Иң бөек математик мәсьәләләр» дигән китабында Ферма теоремасын, Кеплер  гипотезасын һәм күпләр өчен чишеп булмастай тоелган башка мәсьәләләрне аңлаешлы итеп аңлатып кына калмый. Ул математикада һәрдаим яңа ачышлар булуын, ә аларның гамәлдә кулланылуы һәр кешенең күзалдында баруын күрсәтә. Чынлап та, һәр кеше дә үзенең смартфонының математик формулалар нигезендә эшләгәнен белми, һәм мондый мисаллар бихисап. Без Иэн Стюартның китабыннан бер өзекне татар теленә тәрҗемә иттек.

Тарихи яктан шулай: математикада яңа ачышлар башка белем өлкәләрендәге ачышлар артыннан килә. Исаак Ньютон планеталарның хәрәкәтен тасвирлый торган механика һәм бөтендөнья тартылу кануннарын ачса да, Кояш системасы төзелешенә караган барлык сорауларына да җавап тапмый. Киресенчә, бу хәлдән соң математика белгечләре алдына күп кенә яңа сораулар килеп баса: кануннарны беләбез, ләкин аларның асылы нидә соң? Җавап эзләп, Ньютон дифференциаль (интеграль) исәпләүне уйлап таба, ләкин әлеге ысулның да кимчелекләре табыла. Ул еш кына җавап урынына шул сорауның башкача төзелешен генә бирә. Шулай итеп, аның ярдәмендә кайбер мәсьәләләрне җайлы гына махсус формула белән язып була. Ул безгә дифференциаль тигезләмә буларак билгеле. Әлеге тигезләмәнең чишелеше без эзләгән җавап була да инде, ләкин ул чишелешне табарга кирәк бит әле. Ничек кенә булса да, фән өчен бу зур башлангыч була. Ул җавап табуның мөмкин булуын күрсәтә һәм галимнәргә аны эзләргә этәргеч бирә. 300 елдан артык вакыт узуына карамастан, әлеге ысул математика өлкәсендә зур ачышлар ясарга ярдәм итә.

Кешелекнең математик белемнәре үсә барган саен, яңа эзләнүләргә этәргеч булуда зур рольне тагын бер фактор уйный башлый: математиканың үз эчке иҗтыяҗлары. Мәсәлән, сез беренче, икенче, өченче, дүртенче дәрәҗә алгебраик тигезләмәләрне чишә беләсез икән, бишенче дәрәҗә тигезләмәне чишү өчен сезгә ул кадәр бай күзаллауларга ия булу кирәкми. (Чынлыкта, тигезләмәнең дәрәҗәсе – аның кыенлыгы билгесе, ләкин гади сорау бирер өчен, моның нәрсә икәнен белү кирәкми). Әгәр һәрвакыттагыча чишелеш бирелмәсә, әлеге факт үзеннән-үзе математика белән эш итүчеләрне аеруча тырышып эзләнергә мәҗбүр итә, һәм бу очракта нәтиҗәнең нинди дә булса гамәли әһәмияткә ия булуы мөһим түгел.

Мин гамәлдә кулланылышның әһәмияте юк димим. Ләкин математиканың билгеле бер өлеше янәдән-янә сорауларда килеп чыга икән, әйтик, дулкыннар физикасында – океан дулкыннары, тибрәнеш, тавыш, яктылыкта – аңлашыла ки, аның закончалыгын өйрәнү файдалы. Яңа фикернең ничек кулланылачагын алдан белү мәҗбүри түгел: дулкыннар темасы күп кенә мөһим өлкәләрдә бар, шулай булгач, җитди нәтиҗәләрнең, берсүзсез, кайда да булса кирәге чыгачак. Бу очракта «кайда да булса» дигәнебез – телевидение, радио һәм радарлар. Әгәр кем дә кем җылылык агымына яңа караш таба икән һәм бернинди математик дәлилсез дә яңа яхшы ысул тәкъдим итә ала икән, бу мәсьәләләрне математик яктан чишү бик файдалы булачак. Хәтта сезнең җылылык агымында бер эшегез дә булмаса да, аның чишелеше сезгә кайда да булса кирәк булачак. Әлеге өлкәдә тикшеренү вакытында эшләп чыгарылган фурье-анализ, мөгаен, барлык заманнар өчен иң файдалы фикер булгандыр. Асылда, бу – заманча телекоммуникациянең нигезе: ул санлы камераларның эшләвен тәэмин итә, иске кинофильмнарны һәм тавыш язмаларын яңартырга ярдәм итә, ә аның заманча киңәймәләрен ФБР хезмәткәрләре бармак эзләрен саклау өчен куллана.

Соңгы меңьеллыкта математиканың гамәли кулланылышы белән аның эчке төзелешенең мондый бәйләнеше аларның бер-берсеннән аерылгысыз булуына китерде дияргә була. Шулай да математика ике өлкәгә бүленә: чиста һәм гамәли. Мондый бүленеш математик ачышларның кеше белемнәренең төзелешендә нинди урын алуын билгеләргә ярдәм итә, ләкин ул шактый шартлы. Иң яхшы очракта бу юл белән бер өзлексез математик стильләр һәм ысуллар спектрының ике очын аерып була. Иң начарында – мондый бүленеш безне нәрсәнең файда китерүе һәм нәрсәнең фикерләр чыганагы булуы турында ялгыш фикергә китерә. Башка фән өлкәләрендәге кебек үк, математикага көчне тышкы дөньядан алынган абстракт фикерләү һәм күзаллау бирә. Гадирәк әйткәндә, алар бер-берсен тукландырып торалар. Математиканы ике өлешкә бүлү мөмкин генә түгел, бу – мәгънәсез.

Әлеге китап багышланган бөек мәсьәләләр математик мәйданда үзенчәлекле интеллектуаль медитация барышында барлыкка килә. Сәбәбе гади: алар фәкать математик мәсьәләләр генә. Еш кына математика һәрберсендә аерым бер ысуллар өстенлек иткән аерымланган өлкәләр җыелмасы булып кабул ителә: бу алгебра, геометрия, тригонометрия, математик анализ, комбинаторика, ихтималлык теориясе. Аны гадәттә шулай укыталар да, моның сәбәбе дә бар: катгый бүленеш укучыларга уку материалын башларында тәртипкә салырга ярдәм итә. Чынлап та, мондый бүленеш классик һәм тотрыклы математик төзелешне аңлатучы иң төпле ысул. Ләкин тикшеренүләрнең алгы чигендә ул еш кына бозыла. Эш математика өлкәләре арасындагы чикнең сизелер-сизелмәс булуында түгел, чынлыкта алар гомумән юк.

Һәр математик-тикшеренүче кисәк кенә аңларга мөмкин: ул тикшергән мәсьәлә беренче карашка гомумән чит өлкәдән булган яңа караш-фикерләргә мохтаҗ. Моннан бигрәк, яңа тикшеренүләр һәрвакыт үз эченә берничә өлкәне ала. Мәсәлән, минем тикшеренүләр билгеле бер вакытта билгеле бер кагыйдәләр буенча үзгәрүче динамик системалар структурасын формалаштыруга юнәлтелгән. Гади мисал – хайваннарның хәрәкәте. Ат юртып чапканда аяклары белән гел бер үк хәрәкәтне кабатлый, һәм бу хәрәкәттә төгәл канунчалык бар: тояклар җиргә алмашлап һәм диагональ парлар белән тия. Башкача әйткәндә, ат башта алгы сул аягы белән арткы уң аягын, соңыннан уң алгы һәм сул арткы аягын куя. Бу мәсьәлә нәрсә хакында соң? Паттерннар турында, һәм аны төркемнәр теориясе методы – симметрияләр алгебрасы ысулы белән чишәргә кирәкме? Әллә инде бу динамика мәсьәләсеме, һәм аны чишү өчен Ньютонның дифференциаль тигезләмәләрен кулланырга кирәкме?

via GIPHY

Җавап мондый: чынлыкта бу мәсьәлә без атап үткән ике өлкәгә дә карый. Өстәвенә, ул өлкәләрнең кисешүе түгел, киресенчә, алар кисешми диярлек. Юк, бу математиканың ике тармагын үз эченә алучы яңа “өлкә”. Ул ике илне тоташтыручы елга күпере кебек: тоташтыра, ләкин берсенең дә карамагына керми. Ләкин бу күпер тар юл гына түгел, зурлыгы буенча ул тоташтыра торган илләреннән дә ким түгел. Шунысы мөһим: монда кулланыла торган ысуллар якында урнашкан ил ысуллары белән генә чикләнми. Чынлыкта,  минем тикшеренүләрдә математиканың мин кайчан да булса үзләштергән барлык тармакларыннан булган белемнәрем кулланылды. Мәсәлән, Кембриджда студент вакытта тыңлаган Галуа теориясе курсы бишенче дәрәҗә алгебраик тигезләмәләрне чишүгә (яки, дөресрәге, безнең бу тигезләмәләрне чишә алмауның сәбәпләре анализына) багышланган иде. Графлар теориясе курсында челтәр турында, ягъни нокталарны тоташтыручы сызыклар турында иде. Мин динамик системалар белән шөгыльләнмәдем, чөнки докторлык диссертациясен алгебра буенча якладым, ләкин еллар узу белән, бу темага караган төп төшенчәләр белән дә таныштым. Шулай итеп, Галуа теориясе, графлар теориясе һәм динамик системалар – өч аерым өлкә. Һәрхәлдә, мин 2011 нче елга кадәр шулай дип уйладым, шулчак минем игътибарны динамик системаның хаотик динамикасын белергә теләү җәлеп итте, һәм монда инде миңа 45 ел элек Галуа теориясе курсында өйрәнгәннәремнең кирәге чыкты.

Шулай итеп, математика Җирнең һәр иленең чиген төгәл күрсәткән һәм аерым төс белән биргән сәяси картасына охшамаган. Ул картадан бигрәк табигый ландшафтны хәтерләтә, чөнки анда чикләр беленми. Ләкин һәрдаим үзгәреп торучы математик ландшафт тау, су, үсемлекләрдән түгел, ә фикерләрдән тора, һәм аларны география түгел, мантыйк берләштерә. Өстәвенә, ул хәрәкәттәге үзгәрүчән ландшафт: ул яңа идеяләр, яңа ачышлар, яңа ысуллар барлыкка килү белән үзгәрә. Күпләгән кушамчалы мөһим концепцияләр тау очларына охшаган: күпкырлы методикалар – сәяхәтчеләрне уңдырышлы җирләр буенча алып баручы киң елгалар. Ландшафт төгәлрәк сурәтләнгән саен, сәяхәтчеләр юлында көтелмәгәндә килеп чыгып, шактый зур кыенлыклар тудыра торган, әле өйрәнелмәгән җирлекләр, кеше аягы басмаган таулар ачыграк күренә. Вакытлар үтү белән, әлеге киртәләрнең кайберләре ниндидер билге була. Нәкъ шулар математиканың бөек мәсьәләләре булып санала да инде.

Математик мәсьәләне нәрсә бөек итә соң? Аң тирәнлеге, гадилек һәм нәфислек кушылмасы. Шуңа өстәп, ул кыен да булырга тиеш. Бөтен кеше дә калкулыкка менә ала, ләкин Эверест – башка эш. Бөек мәсьәләне уйлап чыгару кыен түгел, гәрчә аның шарты гади кешегә дә ачык булырга мөмкин, белгечләргә генә дә аңлашылырга мөмкин. Әгәр Ферманың Бөек теориясе һәм дүрт буяу мәсьәләсе мәктәп программасы белән таныш булган бөтен кешегә аңлатуларсыз аңлашыла икән, Ходжа гипотезасы яки Янг-Миллс гипотезасын формалаштыру өчен тирән концепцияләр җәлеп итү кирәк. Шулай да билгеле бер өлкә белгече өчен әлеге мәсьәләләрнең тәгъбире табигый һәм гади булып тоела. Аларны аңлатып бирү өчен берничә бит аңлашылмаган текст язуның кирәге юк. Шулай ук аңлау өчен математиканың университет курсын белергә кирәк булган мәсьәләләр бар. Ләкин мәсьәләне аңлауның гомуми дәрәҗәсе – каян чыккан, ни өчен мөһим, нәрсә эшләп була – кагыйдә буларак, һәрбер кызыксынган кешегә дә аңлаешлы, һәм нәкъ менә шуны мин аңлатырга тырышачакмын да инде.

Мәсьәләнең асылы җавапны табудан гыйбарәт булган очраклар сирәк. Математиклар бөек математик мәсьәләләрнең җавабы нинди булырга тиешлеген күзаллыйлар, яки кузаллаганнар, ә чишелеш бүгенге көндә билгеле. Чынлыкта, көтелә торган җавап инде сорауның тәкъбирендә була. Гипотеза – мәгълүматлар күплегенә нигезләнгән ышанырлык фараз, уй. Кагыйдә буларак, яхшы өйрәнелгән гипотезалар вакытлар үтү белән раслана, ләкин һәрвакыт алай булмый.

Исбатлау – бөек мәсьәләләр һәрвакыт таләп итә торган һәм аларны шундый кыен итә торган төп фактор. Билгеле бер белеме булган теләсә кайсы кеше берничә хисаплау башкара ала, андагы канунчалыкны күреп алып, аның кыскача эчтәлеген формалаштыра ала. Ләкин математиклар күбрәкне таләп итә: алар тулы, мантыйклы исбатлаулар, әгәр гипотеза расланмаса, шундый ук тулы кире кагуны сорыйлар. Гомумән, бөек мәсьәләләрнең тормыштагы урынын аңламыйча, бөтен мавыктыргыч матурлыгын бәяләп бетереп булмый. Нигезләнгән фаразны теләсә кем ясый ала, ләкин аның дөреслеген яки ялганлыгын дәлилләү генә кыен.

Математик исбатлау концепциясе вакытлар узу белән үзгәрә, шуның белән бергә мантыйкка таләпләр дә катгыйлана. Югары интеллектка ия күп санлы фәлсәфи бәхәсләр исбатлауның табигате хакындагы мөһим сорауларны күтәреп чыгалар. «Исбатлау» төшенчәсенең төгәл билгеләмәләре тәкъдим ителә һәм кулланылышка кертелә. Без бүген студентларны исбатлау билгеле бер фаразлар – аксиомаларны җыюдан башлана дип өйрәтәбез. Аксиомалар – ул, әйтергә кирәк, уен кагыйдәләре. Башка аксиомалар да булырга мөмкин, ләкин алар инде икенче уенга карыйлар. Беренче булып мондый карашны борынгы грек математигы Евклид уйлап таба, ләкин ул бүген дә шактый күп кулланыла. Кабул ителгән аксиомалар нигезендә исбатлау – һәрберсе аксиоманың, исбатланган раслауның яки икесенең дә мантыйклы нәтиҗәсе булган адымнар сериясеннән гыйбарәт. Чынлыкта, математика –  чатлары – раслаулар, ә үтү юлы – ышанычлы йомгактан торган логик лабиринтны тикшерә. Исбатлау – аксиомалардан башланган лабиринтны үтү юлы. Ул тәмамланган раслау без дәлилләргә тиешле әйбер була да инде.

Ләкин исбатлау турында мондый дөрес күзаллау тарих та, аның мөһим өлеше дә түгел. Бу – симфонияне һармония законнарына буйсынган ноталар эзлеклелеге дип атау белән бер. Билгеләмә дөрес, ә сәнгать кая? Әлеге билгеләмә безгә дәлилне ничек эзләргә дигән сорауга да, аның башка кеше тарафыннан тәкъдим ителгәнен белә торып, ничек тикшерергә дигән сорауга да җавап бирми. Әлеге билгеләмә лабиринтта нинди урыннар мөһим икәнен дә күрсәтми. Бу бары тик башка бик күп аспектлары да булган процессны формаль, механик яктан сурәтләү генә. Дәлилләрне кешеләр эзли, һәм математик тикшеренүләр – һич кенә дә тәфсилле мантыйкның гәүдәләнеше түгел. Дәлилләү билгеләмәсенә формаль яктан якын килү аңлашылмый торган дәлилләр китереп чыгарачак, чөнки хәлиткеч нәтиҗә инде күзалдында булганда, төп көч ваклыкларда эзләнүгә юнәлтеләчәк. Шуңа күрә барлык практик-математиклар юлны турайталар һәм  күзгә күренер адымнарны көймә артында калдыралар. Калган бушлыкларны, гадәттә, «… икәнен күрсәтү кыен түгел», «стандарт исәпләрдән чыгып, …» кебек фразалар күрсәтә. Аның каравы, бер генә математик та мантыйк кыенлыклары аша үтеп, аларны күрмәмешкә салыша алмый. Моннан битәр, белемле математиклар фикерләү чылбырының көчсез урыннарын табалар һәм аларны үстерү, көчәйтү, ышанычлырак итү өстендә эшлиләр. Эш шунда ки, гамәлдә дәлил – ул үз сюжеты булган математик тарих. Аның төенләнеш, кульминация һәм чишелеше бар. Анда еш кына, гомуми кәүсәдән үсеп, үзгә нәтиҗәгә алып баручы кырый сюжет адымнарын күреп була. Бервакыт британияле математик Кристофер Зиман  теләсә нинди теореманың үзенчәлекле интеллектуаль тынлык ноктасы булуын ачыклый. Ул ноктада туктап, сулышны күчереп һәм билгеле бер ачыклык тоеп була. Икенче дәрәҗәдәге сюжет сызыгы төп сюжеттагы сорауларга нокта куярга ярдәм итә. Дәлилләү башка очракларда да әдәби сюжетны хәтерләтә: анда һәрвакыт бер яки берничә төп герой – бу идеяләр, аларның катлаулы мөнәсәбәтләре чишелешкә алып бара да инде.

Формаль билгеләмәдән күренгәнчә, дәлилләү төгәл фаразлардан башлана, адымлап бер мантыйклы нәтиҗәдән икенчесенә күчә һәм без исбатларга теләгән нәтиҗәгә барып җитә. Ләкин исбатлау – йомгаклар тезмәсенең исемлеге дә, мантыйк – аның бердәнбер критерие дә түгел. Исбатлау – ул хикәя, аны күп гомерен сәнгатькә багышлаган һәм хикәяләрне укып, аларда каршылыклар эзли торган кешеләр тыңлыйлар һәм тәфсилләп аңларга тырышалар. Әлеге кешеләрнең төп максаты – исбатлаучы авторның хаклы түгеллеген исбатлау. Мондый кешеләр зәгыйфь урыннарны күрә белү сәләтенә ия булалар, һәм аларны җимергәнче аларга басым ясыйлар. Гомумән, әгәр берәр математик зур бер мәсьәләне чишә алдым дип әйтә икән, калган математиклар «Ура» кычкырып, шампан шәрабы ачарга ашыкмыйлар. Профессиональ инстинкт кушканча, алар тәкъдим ителгән дәлилне кире кагарга тырышалар.

Ничек кенә булса да, исбатлау – бердәнбер ышанычлы корал, аның ярдәмендә математиклар үзләренең хаклы булуларына ышана алалар. Математик җәмәгатьчелекнең реакциясен алдан белә торып, тикшеренүчеләр үз исбатлауларының дөреслеген күп тапкырлар исбатлыйлар һәм аңа карата булырга мөмкин каршылыкларны эзлиләр. Алай җайлырак. Әгәр бу хәл хезмәттәшләрнең тәнкыйди анализын күтәрә ала икән, тиздән җәмәгатьчелек бу фикернең дөрес булуына ышана башлый, һәм әлеге дәлилне уйлап табучы мактаулар һәм бүләкләр ала. Күпчелек очракта шулай була, фәкать бу вакыйгаларга турыдан-туры кагылган кешегә алар башкачарак булып күренергә мөмкин. Чөнки син нәрсәгә дә булса тартылгансың икән, анда баручы вакыйгаларны син карап торган кеше кебек кабул итмисең.

Математиклар мәсьәләләрне ничек чишәләр? Әлеге сорау өйрәнелмәгән диярлек. Когнитивистика базасындагы заманча белем бирү тикшеренүләре башлангычтан алып, югары белем бирү мәктәпләрен генә тикшерәләр. Югары уку йортларында математика укыту буенча фәнни хезмәтләр бар, ләкин алар күп түгел. Моннан тыш, математиканы үзләштерү, укыту һәм бу өлкәдә яңа ачышлар ясау арасында аерма бар. Күпләребез нинди дә булса музыка уен коралында уйный белә, ләкин барыбыз да симфония яки берәр популяр җыр яза алмый.

Сүз югары дәрәҗәдәге сәнгать турында барганда, белгәннәребезне яки беләбез дип уйланган белемнәребезне без үзанализ ярдәмендә ачыклыйбыз. Без математиклардан аларның фикер сөрешен аңлатырга сорыйбыз һәм бу сурәтләүдә гомуми принципларны аерып чыгарырга тырышабыз. Математикларның ничек уйлавын аңларга тырышкан иң беренче хезмәт дип, Жака Адамарның 1945 нче елда чыккан «Математика өлкәсендә уйлап чыгару процессының психологиясен өйрәнү» китабын атарга мөмкин. Адамар алдынгы математиклардан һәм физиклардан сораштыру ала һәм нинди дә булса кыен мәсьәләне чишкәндә ничек уйлауларын сурәтләп бирергә куша. Шушы урында интуициянең нинди мөһим роль уйнавы ачыклана. Аларның фикерләрен ниндидер инстинктив әйберләр юнәлтә. Аларның иң яхшы фикерләре мантыйклы уйлар уйлаганнан түгел, кисәк кенә туган һәм бик тиз үсеш алган.

Мантыйклы сорауларга, беренче карашка, мантыйксыз якын килү ысулын бик тәфсилләп сурәтләүләрнең бер ысулын француз математигы Анри Пуанкаре бирә. Пуанкаре исеме математиканың барлык өлкәләрендә диярлек ишетелә, ул аларга радикаль үзгәрешләр кертә һәм яңа бүлекләр дә ача.

Аның иҗади процессны сурәтләве төп 3 этаптан тора: әзерлек, башта йөртү һәм  җанлану. Әзерлек этабы мәсьәләне күрү, аны формалаштыру һәм традицион методлар белән чишеп карауга юнәлдерелгән мантыйклы аң тырышлыгыннан гыйбарәт. Бу этапта аң үзенә эшләр өчен материал һәм биремнәр ала, һәм Пуанкаре аны иң мөһим этап дип билгели. Формалаштыру процессы мәсьәлә турында уйламый башлагач башлана. Ә эчке фикерләү  шул арада идеяләрне аралый һәм туплый башлый, һәм ул аны «еракта бер ут янганчы эшли». Әгәр бәхет елмайса, аның азагы җанлану була: эчке фикерләү сезгә сигнал бирәчәк, һәм сезнең баш миендә лампочка янган кебек булачак – әзер җавап килеп чыгачак.

Мондый иҗат тарттырылган канат буенча йөрү белән бер. Бер яктан караганда, өлкә белән, башка кирәкле яки кирәк булырга гына мөмкин булган темалар белән ныклап танышмыйча, сез бик кыен мәсьәләне чишә алмыйсыз. Икенче яктан караганда, әгәр математиканың барлык кирәкле өлкәләрен өйрәнгәндә сез инде берничә тапкыр нәтиҗәсез булган юл белән китәсез икән, беркайчан да, бернәрсә дә ача алмаячаксыз. Хикмәт шунда: үзеңдә булган белемнәрне җыеп, бергә туплау, аның өстендә атналар буе эшләү… һәм соңыннан мәсьәләне кырыйга этеп кую. Шул вакыт баш миенең интуитив өлеше эшкә алына: ул барлык фикерләрне карап чыга, аларны тегеләй-болай әйләндерә, кайда нәрсә барын карый, һәм, берәр нәрсә таба калса, сезгә хәбәр итә. Бу хәл теләсә-кайсы вакытта булырга мөмкин: Пуанкаре берничә айлар чишелешен таба алмаган мәсьәләне ничек чишәргә икәнен автобустан чыкканда аңлый. Бик күп формулалар уйлап тапкан һинд математик-үзөйрәнчеге Шриниваса Рамануджан еш кына яңа идеяләрне төшендә күрә. Ә Архимед, легендаларга караганда, эретмәдә алтынның күләмен белүне ваннага кергәч ача.

Пуанкаре әйтүенчә, башлангыч әзерлек этабыннан башка яхшы нәтиҗәгә ирешеп булмый. Эчке фикерләүгә күбрәк азык бирергә кирәк, ди ул, югыйсә яхшы нәтиҗәләргә китерердәй фикерләр тумаячак. Эшләп тир түгүдән башка илһам килми. Моннан тыш, Пуанкаре, башка математиклар кебек үк, мөгаен, мондый өч этаптан торган эшнең генә җитмәгәнлеген белгәндер. Җитди мәсьәләне чишәр өчен, кагыйдә буларак, берничә җанлану этабы кирәк. Бер идеяне фикерләү процессы башка ярдәмче әзерләнү, башта йөртү һәм җанлану процессы белән бүленергә мөмкин, чөнки аның чишелеше төп мәсьәләне чишәргә ярдәм итәргә мөмкин. Алдыңда торган бөек яки бөек үк булмаган мәсьәләне чишү өчен, Бенуа Мандельбротның башваткыч фракталлары кебек берничә шундый эзлеклелекне үтәргә кирәк. Сез мәсьәләне чишү өчен аны берничә асмәсьәләгә бүләчәксез. Сезнең уйлавыгызча, бу асмәсьәләләрне чишеп, аларның җавапларыннан сез төп мәсьәләнең җавабын таба алачаксыз. Кайчакта алар чишелә, кайчакта кире башына кайтырга туры килә. Кайчакта асмәсьәлә үзе берничә өлешкә бүленә. Кайчакта бара торган процессларны күзәтеп бетереп һәм истә калдырып та булмый.

Мин эчке фикерләүне «интуиция» дип атадым. «Интуиция» – бик уңайлы, ләкин «инстинкт» сүзе кебек күп кулланылып, тәгаен аңлатмасы булмаган, хаталы кулланыла торган сүзләрнең берсе. Мондый сүзләр белән, гадәттә, ниндидер аңлашылып бетмәгән, ләкин тормышта булган әйберләрне атыйлар. Математик интуиция ул — аңның форма һәм төзелешне тою, без аңлы рәвештә эләктереп ала алмый торган закончалыкларны күреп белү сәләте. Интуиция аңлы мантыйк кебек үк төгәл түгел, ләкин ул игътибарны без аңлы рәвештә карамаган әйберләргә юнәлтү сәләтенә ия. Кешенең баш мие гадирәк дип саналган мәсьәләләрне ничек чишкәнен нейробиология әле яңа гына өйрәнеп килә. Ләкин, аңлашыла ки, интуиция баш миенең төзелеше һәм тышкы дөнья белән тәэсире ярдәмендә яши.

Еш кына интуициянең төп ярдәме мәсьәләнең йомшак җирләрен күрсәтеп, уңышка ирешерлек юлны ачудан гыйбарәт. Математик исбатлау сугышка яки шахмат уенына охшаш. Йомшак урынны билгеләү белән, тикшерүче барлык мөмкинчелекләрен, математик аппаратын көрәшкә чыгара (ягъни аны өйрәнә башлый). Архимед җирне кузгатыр өчен таяну ноктасына мохтаҗ булган кебек үк, тикшерүче дә мәсьәләгә тәэсир итү рычагына мохтаҗ була. Бердәнбер төп идея аны ачып бирә, һәм стандарт ысуллар өчен аңлаешлы итә ала. Моннан соң инде мәсьәләне ахырга кадәр җиткерү – техника эше.

Әдилә Вилданова тәрҗемәсе

Чыганак текст – Theory and Practice сәхифәсе